微積分考古題6

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2 個解答

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  • 7 年前
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    lim(n→∞) Σ(k=1,n) ln (1+ k/n)^(1/n)

    =lim(n→∞) Σ(k=1,n) (1/n) ln (1+ k/n)

    =lim(n→∞) (1/n) Σ(k=1,n) ln (1+ k/n) ..........(1)

    這個式子的物理意義是:

    圖片參考:http://imgcld.yimg.com/8/n/AD07982684/o/2014021711...

    把x從0到1之間分成n等份,每一等份寬即為1/n,我們把此寬度稱為△x,

    所以△x = 1/n,當n→∞,△x→0

    x_1=1/n, x_2=2/n, x_3=3/n......依此類推

    故(1)式

    =lim(n→∞) (1/n) Σ(k=1,n) ln (1+ x_k)

    =lim(△x→0) △x Σ(k=1,n) f(x_k) ............令 f(x) = ln (1+x) ......(2)

    因為△x→0,所以就變成 dx,Σ就變成 ∫

    所以(2)式

    =∫(0,1) ln(1+x) dx.................∫(0,1)表示積分下限0上限1

    令 u = ln (1+x), dv = dx 則 du = dx/(1+x), v = x

    =x ln(1+x) - ∫ x/(1+x) dx

    =x ln(1+x) - ∫ {1-[1/(1+x)]} dx

    =x ln(1+x) - x + ln(1+x)

    =(x+1) ln(1+x) - x│(0,1)

    = 2(ln 2) - 1

    ^___^

  • 7 年前

    ln(1+k/n)^{1/n} = (1/n) ln(1+k/n)

    原式為黎曼和的極限, ln(1+x) 在 [0,1] 的定積分.

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