線性代數考古題6

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1 個解答

評分
  • 7 年前
    最佳解答

    這是相當簡單的一題

    (a) 因為布於 R 的 5×5 矩陣 M 本身, 配上矩陣加法及純量倍運算,

    就是一個向量空間. 因此, 只需驗證 L 在這兩種運算之下是封閉

    的, 那麼 L 就是 M 的子空間, 也就是說 L 在這兩種運算之下,

    也是一個向量空間.

    由於 tr(A+B) = tr(A)+tr(B), 且 tr(cA) = c*tr(A), 因此, 顯然有

    A, B in L 則 A+B in L, 以及 A in L 而 c 是任意實數時 cA in L

    也就是說 L 在矩陣加法與純量倍運算之下具封閉性. 這證明了

    L 是 M 的子空間, 也就是 L 本身是一個向量空間.

    (b)

    M 是 dimesion=25 的向量空間, L 在 tr(A)=0 限制下, 少了一個 dimension.

    因此 L 的基底有 24 個元素. 一個簡單的基底是下列矩陣構成的.

    (1) 在非主對角線之外一個元素是 1, 其他元素(含主對角線)都是 0.

    這樣的矩陣有 20 個.

    (2) 非主對角線元素都是 0, 主對角線 5 個元素是

    (1 -1 0 0 0), (0 1 -1 0 0), (0 0 1 -1 0),(0 0 0 1 -1)

    以上24個矩陣顯然構成一個線性獨立集, 並且共有 24 個, 所以

    它們構成 L 的一組基底. 當然這不是唯一的一組基底.

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