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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 6 年前

數學科能力競賽 Part6

各位高手:

請問這題要如何證明?

圖片參考:https://s.yimg.com/lo/api/res/1.2/ZRNTbE7kuXcxNY4u...

10 個解答

評分
  • 6 年前
    最佳解答

    a,b,c皆為正實數,則題目各項皆 >0。

    由柯西不等式,得:(a²/b + b²/c + c²/a)*(b + c + a) >= (a + b + c)²故(a²/b + b²/c + c²/a) >= (a + b + c)即(a²/b + b²/c + c²/a) / (a + b + c) >= 1......(1)

    回到題目式子右半,由柯西不等式,有:

    (a³/b² + b³/c² + c³/a²)*(a + b + c) >= (a²/b + b²/c + c²/a)² 故原式中間項(a³/b² + b³/c² + c³/a²)>= (a²/b + b²/c + c²/a)² / (a + b + c)= (a²/b + b²/c + c²/a)* (a²/b + b²/c +c²/a) / (a + b + c)>= (a²/b + b²/c + c²/a) (由(1)式) ......(2) 原式右半部分得證。

    回到題目式子左半,再由柯西不等式,有:

    (a⁴/b³ + b⁴/c³ + c⁴/a³)*(a²/b + b²/c + c²/a) >= (a³/b² +b³/c² + c³/a²)²

    故原式左項(a⁴/b³ + b⁴/c³ + c⁴/a³)>= (a³/b² + b³/c² + c³/a²)² / (a²/b +b²/c + c²/a)= (a³/b² + b³/c² + c³/a²)*(a³/b² + b³/c² +c³/a²) / (a²/b + b²/c + c²/a)>= (a³/b² + b³/c² + c³/a²) (由(2)式移項) 原式左半部分得證。

    總結:

    本題符號較多,把原式左,中,右部分,依序用"左","中","右"表示,則上述解法都是運用柯西不等式而來:

    1. 右 >= (a + b + c)2. 中*(a + b + c) >= 右²,得: 中 >= 右²/(a + b + c) >= 右 (由1.)3. 左*右 >=中²,得: 左 >= 中²/右 >= 中 (由2.)4. 由2.,3.,左 >= 中 >= 右,證畢。

    2014-05-19 14:17:10 補充:

    我們可以重複上述證明過程,把該不等式往左邊無限地推廣,例如進一步得:

    a⁵/b⁴ + b⁵/c⁴ + c⁵/a⁴ >= a⁴/b³ + b⁴/c³ + c⁴/a³

    以下類推。

    故下列不等式亦成立:

    a⁸⁹/b⁸⁸ + b⁸⁹/c⁸⁸ + c⁸⁹/a⁸⁸ >= a⁷⁶/b⁷⁵ + b⁷⁶/c⁷⁵ + c⁷⁶/a⁷⁵

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