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*仙仙* 發問時間: 科學數學 · 6 年前

泰勒公式的定義

泰勒公式的初衷是用多項式來近似表示函數在某點周圍的情況。比如說,指數函數ex 在x = 0 的附近可以用以下多項式來近似地表示:

稱為指數函數在0處的n 階泰勒展開公式。這個公式只對0附近的x 有用,x 離0 越遠,這個公式就越不準確。實際函數值和多項式的偏差稱為泰勒公式的余項。

泰勒定理

對於一般的函數,泰勒公式的係數的選擇依賴於函數在一點的各階導數值。這個想法的原由可以由微分的定義開始。微分是函數在一點附近的最佳線性近似:

,其中 是比h 高階的無窮小。

也就是說 ,或 。

注意到 和 在a 處的零階導數和一階導數都相同。對足夠光滑的函數,如果一個多項式在a 處的前n 次導數值都與函數在a 處的前n 次導數值重合,那麼這個多項式應該能很好地近似描述函數在a 附近的情況。以下定理說明這是正確的:

定理:

設 n 是一個正整數。如果定義在一個包含 a 的區間上的函數 f 在 a 點處 n+1 次可導,那麼對於這個區間上的任意 x,都有:

其中的多項式稱為函數在a 處的泰勒展開式,剩餘的 是泰勒公式的余項,是 的高階無窮小。

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