Dick
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Dick 發問時間: 科學數學 · 5 年前

級數與數列問題

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不好意思

偶數項的和是

(5 + 3/2 + 7/2 + 3n) × n ÷ 2 = (3n + 10)n/2

偶數項的a1 也是5 ????

2 個解答

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  • 5 年前
    最佳解答

    問題

    有一等差數列,首項為 5、公差為 3/2,若奇數項的和比偶數項的和大 20,則等差數列的項數有幾項?

    解答

    (1)

    由於公差 = 3/2 大於0,因此,若項數是偶數,那麼奇數項的和必定比偶數項的和為小。由此可知,項數是奇數。

    (2)

    由於項數是奇數,那麼可令項數為 2n + 1,其中 n 是正整數。

    那麼奇數項有 n + 1 項,偶數項有 n 個。

    (3)

    留意等差數列的奇數項和偶數項分別也是等差數列,公差為原本的公差的兩倍。

    於本題,原數列為:

    5, 5 + 3/2, 5 + 2(3/2), 5 + 3(3/2), 5 + 4(3/2), 5 + 5(3/2), 5 + 6(3/2), ...

    奇數項(共有 n + 1 項)為

    5, 5 + 2(3/2), 5 + 4(3/2), 5 + 6(3/2), ...

    公差 = 2(3/2) = 3

    尾項為 5 + [(n + 1)-1] (3) = 5 + 3n,此項也為全數列的尾項。

    偶數項(共有 n 項)為

    5 + 3/2, 5 + 3(3/2), 5 + 5(3/2), ...

    公差 = 2(3/2) = 3

    尾項為 (5 + 3/2) + (n - 1) (3) = 7/2 + 3n。

    (4)

    奇數項的和是

    (5 + 5 + 3n) × (n + 1) ÷ 2 = (3n + 10)(n + 1)/2

    偶數項的和是

    (5 + 3/2 + 7/2 + 3n) × n ÷ 2 = (3n + 10)n/2

    (5)

    奇數項的和比偶數項的和大 20

    (3n + 10)(n + 1)/2 - 20 = (3n + 10)n/2

    (3n + 10)(n + 1) - 40 = (3n + 10)n

    3n² + 13n + 10 - 40 = 3n² + 10n

    3n - 30 = 0

    3n = 30

    n = 10

    原等差數列的項數 = 2n + 1 = 21。

    驗證:

    若共有 21 項,原數列為:

    10/2, 13/2, 16/2, 19/2, ..., 67/2, 70/2

    奇數項有 11 項,和是

    10/2 + 16/2 + ... + 70/2 = 220

    偶數項有 10 項,和是

    13/2 + 19/2 ... + 67/2 = 200,比奇數項的和少20。

    正確!

    2014-06-25 21:27:13 補充:

    這裏有一個更簡單的解法:

    http://www.funlearn.tw/viewthread.php?tid=8286

    2014-06-25 21:30:27 補充:

    我放在 意見欄 的連結提供一個更簡單的解法,從以上的 (2) 步後開始:

    奇數項的和比偶數項的和大 20

    (a1 + a3 + a5 + ... + a{2n-1} + a{2n+1}) - (a2 + a4 + ... + a{2n})

    = a1 + (a3 - a2) + (a5 - a4) + ... + (a{2n+1} - a{2n})

    = a1 + d + d + ... + d

    = a1 + n × d = 20

    5 + n × (3/2) = 20 可得 n = 10

    因此,項數 = 2n + 1 = 21

    2014-06-26 19:58:39 補充:

    ★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆

    補充回答補充發問:

    偶數項的和是

    (5 + 3/2 + 7/2 + 3n) × n ÷ 2 = (3n + 10)n/2

    偶數項的a1 也是5 ????

    > 不是

    首項 = 5 + 3/2

    尾項 = 7/2 + 3n

    項數 = n

    總和 = [(5 + 3/2) + (7/2 + 3n)] × n ÷ 2

    〔跟以上的一樣。〕

    ( ◕‿◕ ♫╭✰)

  • 匿名使用者
    5 年前

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