從瑞 發問時間: 科學數學 · 6 年前

國中特殊解法的問題題目

1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) +...+ 1/(98x99x100)

3 個解答

評分
  • 6 年前
    最佳解答

    1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(98*99*100)

    Sol

    設2/[n(n+1)(n+2)]=a/n+b/(n+1)+c/(n+2)

    2=a(n+1)(n+2)+bn(n+2)+cn(n+1)

    當n=-1

    2=b*(-1)*1

    b=-2

    當n=-2

    2=c*(-2)*(-1)

    c=1

    當n=-3

    2=a*(-2)*(-1)

    a=1

    2/[n(n+1)(n+2)]=1/n-2/(n+1)+1/(n+2)

    So

    2/(1*2*3)+2/(2*3*4)+2/(3*4*5)+...+2/(98*99*100)

    =(1/1-2/2+1/3)+(1/2-2/3+1/4)+(1/3-2/4+1/5)+(1/4-2/5+1/6)+….

    +(1/95-2/96+1/97)+(1/96-2/97+1/98)+(1/97-2/98+1/99)+(1/98-2/99+1/100)

    =(1/1-1/2)+(-1/99+1/100)

    =4949/9900

    1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+1/(3*4*5)+...+1/(98*99*100)

    =4949/19800

  • 6 年前

    1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) +...+ 1/(98x99x100)=(1/2)((1/(1x2)–1/(2x3))+(1/(2x3)–1/(3x4))+(1/(3x4)–1/(4x5)) +…+(1/(98x99)–1/(99x100)))=(1/2)(1/(1x2) – 1/(99x100))=(1/2)(1/2 – 1/9900)=(1/2)(4950-1)/9900=4949/19800

  • 6 年前

    妳是不是太鹹啦?

    頗ㄏ

    2014-11-13 11:05:09 補充:

    原式= Σ(n=2~98) 1/ (n-1)n(n+1)

    我們先來分析樣本型態:1/ (n-1)n(n+1)

    在分數的"差"運算中我們知道:

    若a<b,則1/a-1/b

    = (b-a)/ab

    = (b-a)(1/ab)

    反之1/ab = (1/a-1/b) /(b-a) ~ 式一

    於是1/ (n-1)n(n+1),by式一得

    = [1/(n-1) -1/n(n+1)] / [n(n+1)-(n-1)],again by式一得

    = { 1/(n-1) -[1/n -1/(n+1)] } /(n^2+1)

    = [ 1/(n-1) +1/(n+1) -1/n ] /(n^2+1)

    n= 2~98,以下是表示意思不是實際上的值

    →[ (1/1+1/2+1/3+...+1/97) +(1/3+1/4+1/5+...+1/99) -(1/2+1/3+1/4+...+1/98) ]

    /(n^2+1),提出共同項

    →[ 3(1/1+1/2+1/3+...+1/99)-(1/98+1/99)-(1/1+1/2)-(1/1+1/99) ] /(n^2+1)

    →[ 3Σ(n=1~99)1/n - 2Σ(n=1,99)1/n - Σ(n=2,98)1/n ] /(n^2+1)

    →Σ(n=1~99)3/[n(n^2+1)] -Σ(n=1,99)2/[n(n^2+1)] - Σ(n=2,98)[n(n^2+1)]

    以上是我目前能想到的做法

    基本上Σ1/n沒有公式可以代的話

    (我在上一題告訴過你的)

    Σ1/n^(?)也不會有公式可以代

    而Σ1/(n^3+n) = Σ(1/n)(1/n^2+1)

    型如Σ(1/n)(1/n^2)

    應該也不會有通用公式可以代

    可能也要硬算了

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