燈魚 發問時間: 科學數學 · 6 年前

計算環流量、渦度、散度

一同心圓柱桶,實心內桶半徑為 10 公分,外桶半徑為 20 公分,桶高 10 公分。若加滿之流體於內外桶間以反時針和向外方向流動,其流速如下:

u = 7 - 0.2 r

v = 40 + 2 r

其中 r 代表與圓心之距離,u 和 v 分別為徑向(radial)和切向(tangential)速度,單位為公分/秒。若流體為不可壓縮,試求:

1. 同心圓柱桶內流體之環流量 ( circulation)。

2. 同心圓柱桶內流體之平均渦度(vorticity)。

3. 同心圓柱桶內流體之平均散度(divergence)。

4. 同心圓柱桶內頂部之平均垂直速度 ( 假設桶底垂直速度為0 )。

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回答的大大可以選擇有筆握的小題答,不一定要全答,若是可以全答更好,感激不盡 !!!!!

1 個解答

評分
  • 麻辣
    Lv 7
    6 年前
    最佳解答

    1. 同心圓柱桶內流體之環流量 ( circulation)。Γ=∫∫(▽ x V)*dS= ∫∫(40/r + 4)rdr*dt......by (2) = ∫∫(40 + 4r)dr*dt= (40r+2r^2)*2pi= 4*pi*r(20 + r)= 4*pi*{20(20+20) - 10(20+10)}= 4*pi(800 - 300)= 2000*pi

    2. 同心圓柱桶內流體之平均渦度(vorticity)。

    r,t,z = Unit vectors V = u*r + v*t + w*z = (7 - 0.2r)*r + (40 + 2r)*t + 0*z= (7 - 0.2r)*r + (40 + 2r)*t

    ξ= ▽ x V=(∂w/r∂t-∂v/∂z)*r + (∂u/∂z-∂w/∂r)*t + [∂(rv)/∂r-∂u/∂t]*z/r = 0 + 0 + [∂(40r+2r^2)/∂r - 0]*z/r= (40 + 4r)*z/r= (40/r + 4)*z= (40/r + 4) (Upward)

    3. 同心圓柱桶內流體之平均散度(divergence)。

    ▽.V= ∂(ru)/r∂r + ∂v/∂t= ∂(7r - 0.2r^2)/r∂r + 0= (7 - 0.4r)/r= 7/r - 0.4= (7/20 - 0.4 + 7/10 - 0.4)/2= 21/40 - 0.4= 1/8

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