阿雷 發問時間: 科學數學 · 6 年前

數學證明題目 求神人解題

要有過程,證明,方法。

第一題:證明

對於每個正常數K

l i m  ln x           

x->∞ x的k次方

(P.S. ( ln x )為分子;x的k次方為分母。)

這證明當x逼近無窮時,自然對數函數比冪函數慢逼近無窮。

第二題:證明

若一物體的運動方程式為 x ( t ) = a( e )的 t 次方 + b( e )的 t 次方

其中a與b為常數

證明其加速度的數值與其所移動的距離相同。

2 個解答

評分
  • 麻辣
    Lv 7
    6 年前
    最佳解答

    第一題: K = +常數 lim(x->∞)[ln(x) / x^k]= ln(∞) / ∞^k= ∞/∞= 不確定使用羅必達法則= [ln(x)'/[x^k]' = (1/x) / [k*x^(k-1)]= 1 / k*x^k= 1 / k*∞^k= 1 / ∞= 0= 自然對數比冪函數慢逼近無窮大

    第二題: a與b = 常數, 證明加速度的數值 = 移動的距離物體運動方程式: x (t) = a(e)^t + b(e)^t

    距離: x(t) = (a + b)*e^t 速度: v(t) = dx/dt = (a + b)*e^t加速度:a(t) = dv/dt = (a + b)*e^t= v(t)= x(t)

    2015-05-31 16:25:00 補充:

    如果是 x(t) = a*e^t + b*e^-t

    => v(t) = a*e^t - b*e^-t

    => a(t) = a*e^t + b*e^-t = x(t)

  • 6 年前

    如果是考試而我是閱卷者的話, 看到 lim (.) = ∞/∞ 這一類的寫法,

    必然先扣他幾分!

    若 k 不是正數, 則 ln(x)/x^k = x^{-k} ln(x) → +∞ 當 x → +∞

    若題目沒打錯, "正常數K" 不是 "正數 k" 之誤植, 那麼上述 k ≦ 0

    的情況必須考慮.

    2015-05-30 04:43:22 補充:

    至於 k > 0 的情形, 當然羅畢達方法是最簡便的. 除此之外,

    ln(x)/x^k = (1/k) ln(x^k)/x^k

    顯然只需考慮 lim_{u→∞} ln(u)/u 即可.

    事實上只需考慮 lim_{n→∞} ln(2^n)/2^n 即可.

    而最後那個極限不用畽羅畢達方法也很容易證明是 0.

    2015-05-30 04:48:39 補充:

    第2題我懷疑題目是 s(t) = a e^t + b e^{-t}

    當然, 仍可得加速度 a(t) = (d/dt)^2 s(t) = s(t).

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