yuky 發問時間: 科學數學 · 5 年前

數學問題 一正方型邊長為8 求三角形面積(付圖) 已知一腳渡為45度 底邊長為6 http://i.imgur.com/Yj38aBM.jpg?

1 個解答

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  • Lopez
    Lv 5
    5 年前
    最佳解答

    此題無解,說明如下:

    相關位置請參考底下附圖,或是以下網址:

    http://imgur.com/NIZWalO

    方法一 用三角函數來解:

    AD = 8*tanθ , 所以 AC = 8 - 8*tanθ

    BE = 8*tan(45°-θ) , 所以 BC = 8 - 8*tan(45°-θ)

    AC^2 + BC^2 = AB^2

    [ 8 - 8*tanθ ]^2 + [ 8 - 8*tan(45°-θ) ]^2 = 36

    [ 1 - tanθ ]^2 + [ 1 - tan(45°-θ) ]^2 = 36/64

    1 - 2 tanθ + tan^2 θ + 1 - 2 tan(45°-θ) + tan^2 (45°-θ) = 9/16

    2 - 2 tanθ - 2 tan(45°-θ) + tan^2 θ + tan^2 (45°-θ) = 9/16 ... (1)

    令 x = tanθ

    tan(45°-θ) = ( tan45° - tanθ ) / ( 1 + tan45° tanθ ) = (1-x)/(1+x)

    故(1)式得 :

    2 - 2x - 2(1-x)/(1+x) + x^2 + (1-x)^2/(1+x)^2 = 9/16

    等式左右皆乘以 (1+x)^2 得 :

    2(1+x)^2 - 2x(1+x)^2 - 2(1-x)(1+x) + x^2(1+x)^2 + (1-x)^2 = 9(1+x)^2 / 16

    2(1+2x+x^2) - 2x(1+2x+x^2) - 2(1-x^2) + x^2(1+2x+x^2) + (1-2x+x^2) = 9(1+x)^2 / 16

    2+4x+2x^2 -2x-4x^2-2x^3 -2+2x^2 +x^2+2x^3+x^4 +1-2x+x^2 = 9(1+x)^2 / 16

    x^4 + 2x^2 + 1 = 9(1+x)^2 / 16

    16(x^2+1)^2 = 9(1+x)^2

    4(x^2+1) = ± 3(1+x)

    當 4(x^2+1) = 3(1+x)

    4x^2 - 3x + 1 = 0

    判別式 D = (-3)^2 - 4*4*1 = - 7 < 0

    故 x 無實數解

    又 x = tanθ , 即 θ = arctan x

    所以 θ 亦無實數解

    當 4(x^2+1) = - 3(1+x)

    4x^2 + 3x + 7 = 0

    判別式 D = 3^2 - 4*4*7 = - 103 < 0

    故 x 無實數解, 所以 θ 亦無實數解

    ---------------------------------------------------------

    方法二 用數值分析的方法來解:

    令 d = AB

    由方法一中的計算式可得:

    d

    = AB

    = √ ( AC^2 + BC^2 )

    = √ { [ 8 - 8*tanθ ]^2 + [ 8 - 8*tan(45°-θ) ]^2 }

    ≡ d ( θ )

    利用此式,用電腦軟體計算可得: (精確至小數三位)

    d ( 0° ) = 8

    d ( 0.5° ) = 7.931

    d ( 1° ) = 7.865

    ....................

    d ( 22° ) = 6.628

    d ( 22.5° ) = 6.627

    d ( 23° ) = 6.628

    ....................

    d ( 44.5° ) = 7.931

    d ( 45° ) = 8

    觀察此函數 0° ~ 22.5° 為遞減; 22.5° ~ 45° 為遞增,

    在 22.5° 有最小值, 在兩端有最大值.

    最小值 = d ( 22.5° ) = 6.627 > 6

    故 AB 不可能是 6

    Attachment image
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