student 發問時間: 科學數學 · 5 年前

ABCD為正方形,P為正方形內部一點,P到A、B、C的距離分別為1、2、3, 求 正方形面積?(答案5+2√2)?

1 個解答

評分
  • andrew
    Lv 7
    5 年前
    最佳解答

    設正方形邊長為 a。

    根據餘弦定律:

    cos∠ABP = (AP² + BP² - AP²) / (2 × AB × BP)

    cos∠ABP = (a² + 2² - 1²) / (2 × a × 2)

    cos∠ABP = (a² + 3) / 4a

    同理:

    cos∠PBC = (BP² + BC² - PC²) / (2 × BP × BC)

    cos(90° - ∠ABP) = (2² + a² - 3²) / (2 × 2 × a)

    sin∠ABP = (a² - 5) / 4a

    sin²∠ABP + cos²∠ABP = 1

    [(a² + 3) / 4a]² + [(a² - 5) / 4a]² = 1

    (a² + 3)² + (a² - 5)² = (4a)²

    (a²)² + 6a² + 9 + (a²)² - 10a² + 25 = 16a²

    2(a²)² - 20a² + 34 = 0

    (a²)² - 10a² + 17 = 0

    a² = [10 ± √(10² - 4×17)]/2

    a² = 5 + 2√2 或 a² = 5 - 2√2 (不合,因 sin∠ABP 不可小於0)

    正方形面積 = a² = 5 + 2√2

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