韋廷 發問時間: 科學數學 · 5 年前

設平面e通過作標1,-1,1和-1,3,1兩點且與平面x+z=2011的銳夾角為45度 求平面e方程式?

1 個解答

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  • Lopez
    Lv 5
    5 年前
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    設平面 e 之方程式為 ax + by + cz = k , 故其法向量為 N = ( a , b , c )

    令 x+z = 2011 為平面 e' , 其法向量為 N' = ( 1 , 0 , 1 )

    因為 e 與 e' 夾角45度, 所以兩者的法向量也夾角45度, 故得:

    N.N' = |N|*|N'|* cos 45°

    ( a , b , c ).( 1 , 0 , 1 ) = |( a , b , c )|*|( 1 , 0 , 1 )|* ( 1 / √2 )

    a + c = √( a^2 + b^2 + c^2 ) * √2 * ( 1 / √2 )

    a + c = √( a^2 + b^2 + c^2 )

    a^2 + 2ac + c^2 = a^2 + b^2 + c^2

    b^2 = 2ac ..... (1式)

    又平面 e : ax + by + cz = k 通過座標 ( 1 , -1 , 1 ) 和 ( -1 , 3 , 1 ) 兩點, 所以:

    a - b + c = k

    - a + 3b + c = k

    前式 - 後式 得:

    2a - 4b = 0

    a = 2b , 代入(1式)得:

    b^2 = 2ac = 2*2b*c = 4bc

    c = b^2 / 4b = (1/4)b

    N

    = ( a , b , c )

    = ( 2b , b , (1/4)b )

    ≡ ( 2 , 1 , 1/4 ) , 符號 ≡ 表示"相當於", 這是因為單位法向量是唯一的, 但法向量並不是唯一的.

    ≡ ( 8 , 4 , 1 )

    重設平面 e 之方程式為 8x + 4y + z = k

    代入座標 ( 1 , -1 , 1 ) 得:

    8 - 4 + 1 = k

    k = 5

    Ans: 8x + 4y + z = 5

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