¬I¥Ã«H 發問時間: 科學數學 · 5 年前

設X>或=0,Y>或=0,Z>或=0且X+Y+Z=1,試求滿足P=2X-Y+3Z,Q=3X+2Y+4Z之點(P,Q)所形成的面積為多少?

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  • Lopez
    Lv 5
    5 年前
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    P

    = 2X - Y + 3Z

    = 2X - Y + 3( 1 - X - Y )

    = - X - 4Y + 3

    Q

    = 3X + 2Y + 4Z

    = 3X + 2Y + 4( 1 - X - Y )

    = - X - 2Y + 4

    Q - P = 2Y + 1

    Y = ( - P + Q - 1 ) / 2 ≧ 0

    - P + Q - 1 ≧ 0 ..... (1式)

    P - 2Q = X - 5

    X = P - 2Q + 5 ≧ 0

    P - 2Q + 5 ≧ 0 ..... (2式)

    Z

    = 1 - X - Y

    = 1 - ( P - 2Q + 5 ) - ( - P + Q - 1 )/2

    = ( - P + 3Q - 7 ) / 2 ≧ 0

    - P + 3Q - 7 ≧ 0 ..... (3式)

    在 P-Q 座標平面, 做 (1式), (2式), (3式) 之線性規劃,

    這三個不等式所圍成的區域, 恰為以下三直線所圍成的三角形區域 :

    - P + Q - 1 = 0 ....... (4式)

    P - 2Q + 5 = 0 ....... (5式)

    - P + 3Q - 7 = 0 ..... (6式)

    (4式) & (5式) 解得 ( P , Q ) = ( 3 , 4 ) ≡ ( a1 , a2 ) ≡ A點 , 其中 ≡ 表示 "定義為"

    (4式) & (6式) 解得 ( P , Q ) = ( -1 , 2 ) ≡ ( b1 , b2 ) ≡ B點

    (5式) & (6式) 解得 ( P , Q ) = ( 2 , 3 ) ≡ ( c1 , c2 ) ≡ C點

    Δ =

    | b1-a1 b2-a2 |

    | c1-a1 c2-a2 |

    =

    | -4 -2 |

    | -1 -1 |

    = 2

    所求面積

    = ΔABC面積

    = (1/2) * | Δ |

    = (1/2) * | 2 |

    = 1 ..... Ans

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