圓方程式的問題!!?

Question

求圓方程式:

1.A(-5,-6)、B(3,4)為直徑兩端點

2.圓心為圓點，且過直線2X-Y=3與5X+3Y=2的交點

點P(3,-2)在圓C:X^2+Y^2+KX-4Y-3=0的外部，試求K的範圍

Answer 1

最佳解答

圓方程的一般式：(x - h)² + (y - k)² = r²

圓方程的標準式：x² + y² + Dx + Ey + F = 0

h = -D/2　　　k = -E/2　　　r² = (D/2)² + (E/2)² - F

圓心 = (h,k) = (-D/2,-E/2)

半徑 = r = √[ (D/2)² + (E/2)² - F ]

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1. A(-5,-6)、B(3,4) 為直徑兩端點

圓心 = AB 的中點 = ( (-5 + 3)/2 , (-6 + 4)/2 ) = (-1,-1)

半徑 = √[(-1 - 3)² + (-1 - 4)²] = √41

圓方程式：

(x + 1)² + (y + 1)² = (√41)²

(x + 1)² + (y + 1)² = 41

x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 - 41 = 0

x² + y² + 2x + 2y - 39 = 0

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2. 圓心為原點，且過直線 2x - y = 3 與 5x + 3y = 2 的交點

圓心 = (0,0)

{ 2x - y = 3 ...... ①

{ 5x + 3y = 2 ...... ②

3① + ②：

3(2x - y) + (5x + 3y) = 3(3) + 2

11x = 11

x = 1

代 x = 1 入 ①

2(1) - y = 3

y = 2 - 3 = -1

圓方程式：

(x - 0)² + (y - 0)² = (1 - 0)² + (-1 - 0)²

x² + y² - 2 = 0

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3. 點 P(3,-2) 在圓 C: x² + y² + kx - 4y - 3 = 0 的外部，試求 k 的範圍

方法一：

∵ P(3,-2) 在圓 C: x² + y² + kx - 4y - 3 = 0 的外部

(3)² + (-2)² + k(3) - 4(-2) - 3 > 0

3k + 18 > 0

k > -6

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方法二：

∵ P(3,-2) 在圓 C: x² + y² + kx - 4y - 3 = 0 的外部

圓心與 P 的距離 > 半徑

(圓心與 P 的距離)² > (半徑)²

[3 - (-k/2)]² + (-2 - 2)² > (k/2)² + (4/2)² + 3

9 + 3k + k²/4 + 16 > k²/4 + 7

3k + 18 > 0

k > -6