炘涛 發問時間: 科學數學 · 5 年前

請問這題微積分怎麼算? find the values of n so that the improper integral converges?

1.定積分(0->1)1/x^n dx

2.定積分(1->無限)1/x^n dx

3.定積分(0->無限)1/x^n dx

2 個解答

評分
  • 匿名使用者
    5 年前
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    1. ∫(0,1) 1/xⁿ dx

    For n ≠ 1,

    ∫(0,1) 1/xⁿ dx

    = lim(t→0⁺) ∫(t,1) 1/xⁿ dt

    = 1/(n - 1) lim(t→0⁺) ∫(t,1) d(-1/x⁽ⁱⁿ⁻¹⁾)

    = -1/(n - 1) lim(t→0⁺) [ 1/1⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ - 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ ]

    = -1/(n - 1) + 1/(n - 1) lim(t→0⁺) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾

    When n > 1, lim(t→0⁺) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ →∞

    When n < 1, lim(t→0⁺) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ = 0

    For n = 1,

    ∫(0,1) 1/x dx

    = lim(t→0⁺) ∫(t,1) 1/x dt

    = lim(t→0⁺) ∫(t,1) d( ln x )

    = ln 1 - lim(t→0⁺) ln t

    = -∞

    ∴ n < 1

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    2. ∫(1,∞) 1/xⁿ dx

    For n ≠ 1,

    ∫(1,∞) 1/xⁿ dx

    = lim(t→∞) ∫(1,t) 1/xⁿ dx

    = 1/(n - 1) lim(t→∞) ∫(1,t) d(-1/x⁽ⁱⁿ⁻¹⁾)

    = -1/(n - 1) lim(t→∞) [ 1/1⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ - 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ ]

    = -1/(n - 1) + 1/(n - 1) lim(t→∞) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾

    When n > 1, lim(t→∞) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ = 0

    When n < 1, lim(t→∞) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ →∞

    For n = 1,

    ∫(0,1) 1/x dx

    = lim(t→∞) ∫(1,t) 1/x dt

    = lim(t→∞) ∫(1,t) d( ln x )

    = lim(t→∞) ln t - ln 1

    = ∞

    ∴ n > 1

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    3. ∫(1,∞) 1/xⁿ dx

    For n ≠ 1,

    ∫(0,∞) 1/xⁿ dx

    = lim(t→∞) ∫(1/t,t) 1/xⁿ dx

    = 1/(n - 1) lim(t→∞) ∫(1/t,t) d(-1/x⁽ⁱⁿ⁻¹⁾)

    = -1/(n - 1) lim(t→∞) [ 1/(1/t)⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ - 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ ]

    = -1/(n - 1) lim(t→∞) [ t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ - 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ ]

    When n > 1, lim(t→∞) t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ →∞

    When n < 1, lim(t→∞) 1/t⁽ⁱⁿ⁻¹⁾ →∞

    For n = 1,

    ∫(0,∞) 1/xⁿ dx

    = lim(t→∞) ∫(1/t,t) 1/x dt

    = lim(t→∞) ∫(1/t,t) d( ln x )

    = lim(t→∞) ln t - ln (1/t)

    = 2 lim(t→∞) ln t

    = ∞

    ∴ There are no values of n so that the improper integral converges.

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    相片:

    我們發生某些問題,請再試一次。

  • pui
    Lv 4
    5 年前

    1)

    定積分(0->1)1/x^n dx

    =[x^(n+1)]/(n+1) |(0->1)

    =0+1/(n+1)

    =1/(n+1)

    2)

    定積分(1->無限)1/x^n dx

    =[x^(n+1)]/(n+1) |(1->無限)

    =無限

    3)

    定積分(0->無限)1/x^n dx

    =[x^(n+1)]/(n+1) |(0->無限)

    =無限

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