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發問時間: 科學數學 · 4 年前

微分題目:一條長150cm的鐵線分成兩段,分別圍成一個正方形及一個圓形.求兩段鐵線的長度,使得正方形及圓形的面積之和為最小.?

一條長150cm的鐵線分成兩段,分別圍成一個正方形及一個圓形.求兩段鐵線的長度,使得正方形及圓形的面積之和為最小.

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                                               20160526

    設 x 為第一段鐵線的長度,及 A 為正方形及圓形的面積之和

    第二段鐵線的長度 = 150 - x

    正方形的邊長 = x/4

    正方形面積 = (x/4)² = x²/16

    圓形的半徑 = (150 - x)/(2π)

    圓形面積 = [(150 - x)/(2π)]²π = (150 - x)²/(4π) = (x - 150)²/(4π)

    A = x²/16 + (x - 150)²/(4π)

    dA/dx = x/8 + (x - 150)/(2π)

    d²A/dx² = 1/8 + 1/(2π) > 0

    當 dA/dx = 0, x/8 + (x - 150)/(2π) = 0, x = 600/(π + 4)

    d²A/dx²|(x = 600/(2π + 1)) > 0

    代 x = 600/(π + 4) 入 A,

    A = [600/(π + 4)]²/16 + [600/(π + 4) - 150]²/(4π)

    A = 22500/(π + 4)² + 5625π/(π + 4)²

    A = 5625/(π + 4)

    ∴ 兩個正方形的最小面積之和為 5625/(π + 4) cm² ( ≈ 787.639 cm² )

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    當一個函數只有一個局部極小值時,該值也為絕對極小值。

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