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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 4 年前

(數學)求題意說明跟解法?

Find the least squares line for the given data:(3,2)、(4,3)、(5,2)

※Method of least squares:The straight line Y = a + bX should be fitted through the given points (X1,Y1)、(X2,Y2)、...、(Xn,Yn) so that the sum of the squares of the distances of those points from the straight line is minimum, where the distance is measured in the Y-direction.

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  • Lopez
    Lv 5
    4 年前
    最佳解答

    已知三個點 : (3,2)、(4,3)、(5,2) , 求這些點的最小平方直線(迴歸直線) .

    ※ 最小平方法 :

    已知 n 個點 : ( X1 , Y1 ) , ( X2 , Y2 ) , ..... , ( Xn , Yn )

    求這些點的最小平方直線 Y = a + bX , 使得 :

    這些點與直線在 Y 方向上的距離平方和為最小.

    Sol :

    SS ( sum of the squares , 平方和 )

    = [ Y(3) - 2 ]^2 + [ Y(4) - 3 ]^2 + [ Y(5) - 2 ]^2

    = ( a + 3b - 2 )^2 + ( a + 4b - 3 )^2 + ( a + 5b - 2 )^2

    = ( a^2 + 9b^2 + 4 + 6ab - 4a - 12b )

    + ( a^2 + 16b^2 + 9 + 8ab - 6a - 24b )

    + ( a^2 + 25b^2 + 4 + 10ab - 4a - 20b )

    = 3a^2 + 50b^2 + 17 + 24ab - 14a - 56b

    ∂SS / ∂a = ∂SS / ∂b = 0 時, SS 有最小值, 所以 :

    ∂SS / ∂a = 6a + 24b - 14 = 0 ..... (1)

    ∂SS / ∂b = 100b + 24a - 56 = 0 ..... (2)

    由 (1) 得 :

    6a + 24b = 14 ..... (3)

    (2) 除以 4 得 :

    6a + 25b = 14 ..... (4)

    (4) - (3) 得 b = 0

    a = 14/6 = 7/3

    Ans: Y = 7/3

    (水平線)

    ---------------------------------------------------------------------

    以下用 Excel 驗證 :

    A1 輸入 3 , B1 輸入 2

    A2 輸入 4 , B2 輸入 3

    A3 輸入 5 , B3 輸入 2

    D1 輸入 =SLOPE(B1:B3,A1:A3)

    計算結果為 0 , 故迴歸直線斜率為 0

    D2 輸入 =INTERCEPT(B1:B3,A1:A3)

    計算結果為 2.33333333333333 , 故迴歸直線的Y-截距為 2.33333333333333

    又 7/3 ≒ 2.33333333333333

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