發問時間: 科學數學 · 2 年前

請求數學大神幫忙! 251^2+249^2=2*250^2+n 求n=? 3*5*(4^2+1)*(4^4+1)*(4^8+1)=2^b-1 求b=?

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    2 年前
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    問題:

    1. 251² + 249² = 2×250² + n,求 n = ?

    2. 3×5×(4² + 1)(4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = 2ᵇ - 1,求 b = ?

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    解答:

    1.

    251² + 249² = 2×250² + n

    251² - 2×251×249 + 249² = 2×250² - 2×251×249 + n

    (251 - 249)² = 2×250² - 2(250 + 1)(250 - 1) + n

    2² = 2×250² - 2(250² - 1²) + n

    4 = 2×250² - 2×250² + 2×1 + n

    n = 4 - 2 = 2

    2.

    3×5×(4² + 1)(4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = 2ᵇ - 1

    (4 - 1)(4 + 1)(4² + 1)(4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = 2ᵇ - 1

    (4² - 1²)(4² + 1)(4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = 2ᵇ - 1

    [(4²)² - 1](4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = 2ᵇ - 1

    [(4⁴)² - 1](4⁸ + 1) = 2ᵇ - 1

    (4⁸)² - 1 = 2ᵇ - 1

    4¹⁶ - 1 = 2ᵇ - 1

    (2²)¹⁶ - 1 = 2ᵇ - 1

    2³² - 1 = 2ᵇ - 1

    b = 32

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    這兩題主要是利用以下的性質:

    (a + b)² = a² + 2ab + b²

    (a - b)(a + b) = a² - b²

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