J 發問時間: 科學數學 · 1 年前

(1-L)^N→if L is low, it can be approximated by (1-L)^N ≈ 1-NL 有先進能幫忙解釋下?

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    問題:

    (1 - L)ᴺ → if L is low, it can be approximated by (1 - L)ᴺ ≈ 1 - NL

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    解答:

    假設 N 為正整數

    考慮 (a + b)ᵐ = aᵐ + C(m,1) aᵐ⁻¹ b + C(m,2) aᵐ⁻² b² + ... + bᵐ,

    (1 - L)ᴺ

    = 1 + C(N,1) (-L) + C(N,2) (-L)² + ... + (-L)ᴺ

    = 1 - NL + N(N - 1)L/2 + ... + (-L)ᴺ

    當 L 夠小的時候,(1 - L)ᴺ ≈ 1 - NL

    例子:

    (1 - 1/20)² = 0.9025

    1 - 2(1/20) = 0.9

    反例:

    (1- 1/20)¹⁷ = 0.4181203352191774128676605224609375

    1 - 17(1/20) = 0.15

    這時的 N 比較大,所以需要找一個比 1/20 還要小的數值,例如:1/200

    (1 - 1/200)¹⁷ = 0.918316468354365073802600335966060305327606201171875

    1 - 17(1/200) = 0.915

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    二項式定理:(a + b)ᵐ = aᵐ + C(m,1) aᵐ⁻¹ b + C(m,2) aᵐ⁻² b² + ... + bᵐ

    C(m,n) = m!/[n! (m - n)!]

    其中 m ≥ n 及 m, n 為正整數

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