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發問時間: 科學數學 · 2 個月前

高職數學 正餘弦定理?

求詳解

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1 個解答

評分
  • 匿名使用者
    2 個月前
    最佳解答

    問題:

    梯形 ABCD 中,線段 AB = 5,線段 BC = K,線段 CD = 7,線段 DA = 6,

    試求其梯形面積。

    https://s.yimg.com/tr/i/2c1de111f57d4bcba06f506d11...

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    設 K = 9 + 1

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    解答:

    線段 AD // 線段 BC

    方法一:( 餘弦定理 )

    設 E 為線段 BC 上的一點使得線段 DE = 線段 AB 且線段 DE // 線段 AB

    故線段 DE = 5 及線段 EC = K - 6 = 4

    由餘弦定理 ( c² = a² + b² - 2ab cosC ) 得

    cos∠DEC = (5² + 4² - 7²)/(2×5×4) = -1/5 ...... 🤔

    sin∠DEC = √(1 - cos²∠DEC) = (2√6)/5

    ∴ 梯形面積 = (6 + K)(5 sin∠DEC)/2 = 16√6

    方法二:( 餘弦定理前傳 )

    設 E 為線段 BC 上的一點使得線段 DE = 線段 AB 且線段 DE // 線段 AB

    故線段 DE = 5 及線段 EC = K - 6 = 4

    由畢氐定理,

    (5 cos∠DEB + 線段 EC)² + (5 sin∠DEB)² = (線段 DC)²

    5² (cos²∠DEB + sin²∠DEB) + 2×5×4 cos∠DEC + 4² = 7²

    cos∠DEB = (7² - 5² - 4²)/(2×5×4) = 1/5 ...... 🤨

    sin∠DEB = √(1 - cos²∠DEB) = (2√6)/5

    ∴ 梯形面積 = (6 + K)(5 sin∠DEB)/2 = 16√6

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    留意:

    sin²θ + cos²θ = 1

    sin(180° - θ) = sinθ

    cos(180° - θ) = - cosθ

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