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匿名使用者 發問時間: 教育與參考考試 · 2 個月前

如何證明2+4+6+...+2n>n平方?

1 個解答

評分
  • SC147
    Lv 6
    2 個月前
    最佳解答

    2+4+6+...+2n

    = (n/2)(2+2n) --→《 n項之和, S(n) = n(a+L)/2 》

    = n(1+n)

    > n(n)

    =n²

    ∴ 2+4+6+...+2n > n²

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    證明 : 2+4+6+...+2n > n² - - - - (#)

    證 :

    ===

    1) 當 n=1,

    L.H.S.=2(1)=2

    R.H.S. = 1²=1

    ∴ L.H.S. > R.H.S.

    (#) 成立

    2) 設 當n=k,  (#) 成立

    當 n=k+1,

    L.H.S. = 2+4+6+...+2k+2(k+1)

        = (k/2)(2+2k) + 2(k+1) →《 n項之和, S(n) = n(a+L)/2 》

        = k(1+k) + 2(k+1)

        = k+k² + 2k+2

        = k²+3k+2

    R.H.S. = (k+1)² = k²+2k+1

    ∵ k²+3k+2 > k²+2k+1  (k 為正整數)

    => L.H.S. > R.H.S.

    ∴ 當n=k+1, (#) 也成立

    3) 所有的正整數n, (#)都成立

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