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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 4 個月前

過P(-1,5) 且與圓C:x²+y²-4x+2y-4=0 相切的直線方程式為? 求詳解?

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  • 4 個月前

    過 P:(-1,5) 斜率 m 的直線:

    L: y = m(x+1)+5

    圓 C 方程式可改寫為:

        (x-2)^2 + (y+1)^2 = 9

    如此形式很容易看出: 圓心 (2,-1), 半徑 3.

    L 與圓 C 的交點 (x,y) 滿足:

       (x-2)^2 +{[m(x+1)+5]+1}^2 = 9

    整理得:

       (1+m^2)x^2 + [2m(m+6)-4]x + [4+(m+6)^2-9] =0

    化簡:

        (1+m^2)x^2 + 2(m^2+6m-2)x + (m^2+12m+31) = 0

    圓之切線與圓恰有一交點, 故

        (m^2+6m-2)^2 - (1+m^2)(m^2+12m+31) = 0

    左邊化簡得 -36m-27. 故

        4m+3 = 0.

    即: 一切線斜率為 -3/4, 而切線為

        y = (-3/4)(x+1) + 5

    即 3x+4y-17 = 0.   切點: (19/5,7/5).

    但過圓外一點到圓的切線有兩條, 而上面僅得一條,

    故過 (-1,5) 之另一條無斜率, 方程式:

        x + 1 = 0

    切點: (-1,-1).

    所以, 過P(-1,5) 且與圓C:x²+y²-4x+2y-4=0 相切的

    直線方程式有二:

    (1)  3x+4y-17 = 0, 

    (2)  x+1 = 0

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