謙謙 發問時間: 科學數學 · 1 個月前

凸12邊形的任意3條對角線不交於12邊形內一點點,求這些對角線將凸12邊形分成____個區域數?

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    問題:

    凸 12 邊形 ABCDEFGHIJKL 的任意 3 條對角線不交於 12 邊形內同一點,求這些對角線將凸 12 邊形分成 ____ 個區域數 ?

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    解答:

    ∵ 任意 3 條對角線不交於 12 邊形內一點

    從 A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L 中任意選 4 點,

    而這 4 點必定能組成 2 條會相交的對角線,即這些交點總數為 C(12,4) 個。

    故凸 12 邊形有 12 + C(12,4) = 507 點。

    ∵ 任意 3 條對角線不交於 12 邊形內一點

    考慮 BH 與 GK 的交點 M,M 把 BH 及 GK 分成 2(1) + (2) 條線段。

    由此,每個交點(不包括 A、B、...、L)把對角線分成 2[C(12,4)] + [C(12,2) - 12] 條線段。

    最後加上 AB、BC、...、LA 這 12 條邊,即共有 1056 條線段。

    現在把這個平面的凸 12 邊形「扭曲」成一個立體的 507 個角的多面體,其中 ABCDEFGHIJKL 為底。

    即這個 507 角體有 2 - 507 + 1056 = 551 個面,

    故這些對角線將凸 12 邊形分成 551 - 1 = 550 個區域數。

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    註:

    歐拉公式 V - E + F = 2 ,其中 V、E 及 F 分別為點、線及面。

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