發問時間: 科學數學 · 4 星期前

高中數學 二次曲線?

1:拋物線y= 16x上與直線4x-3y + 24的距離最短之點的坐標。

這一題其中一個步驟會變成   絕對值4t^2-12t+24絕對值/5 , 不懂5哪裡來的 ,然後想順便問一下怎麼解題。

1 個解答

評分
  • 4 星期前
    最佳解答

    拋物線?  是  y^2 = 16x 還是 y = 16x^2? 總得有一個二次的

    才是拋物線吧.

    座標平面上一點 (x0,y0) 到直線 ax+by+c = 0 的距離是:

       |a x0 + b y0 +c|/√(a^2+b^2)

    這公式課本上應該有吧. 現在直線是 4x-3y+24 = 0, 所以

    (x0,y0) 到直線的距離就是

       |4 x0 - 3 y0 +24|/5

    至於怎麼變成你寫的那個樣子...如果拋物線是

       y^2 = 16x

    則 x = t^2 時 y = ±4t. 也就是說: (x0,y0) 可以代 (t^2,4t)

    或 (t^2,-4t). 但 t 可正可負, 所以考慮 (t^2,4t) 就可以. 所

    以距離成為 

        |4 t^2 - 3(4t) + 24|/5 = |4t^2-12t+24|/5

    ∵ t^2-12t+24 = (2t-3)^2 + 15

    ∴ |t^2-12t+24|/5 = [(2t-3)^2+15]/5 ≧ 3

    最小值發生在 t = 3/2, 也就是 (x0,y0) = (9/4,6) 時,

    最短距離是 3.

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