謙謙 發問時間: 科學數學 · 1 個月前

某一燈塔裝置了紅、黃、藍、綠、紫五種不同顏色的燈,每晚會點亮其中一種燈, 且每一晚都是從前一晚未點過的四種燈中隨機點亮一種。設第 1 晚點亮紅色燈,則第 6 晚也點亮紅色燈的機率為何(以最簡分數表示)?

2 個解答

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  • 1 個月前
    最佳解答

    定義 p(n) 為第 n 晚亮紅色燈的機率。

    那 p(1) = 1,並有廻遞關係:

    p(n + 1)

    = p(n) × 0 + [1 - p(n)] × 1/4

    = 1/4 - 1/4 p(n)

    【意義為:

    若前一晚 (第 n 晚) 亮紅燈 [以機率 p(n) 發生],那今晚 (第 n + 1 晚) 亮紅燈的機率必為 0;但若前一晚 (第 n 晚) 不是亮紅燈 [以機率 1 - p(n) 發生],那今晚 (第 n + 1 晚) 亮紅燈的機率則為 1/4。】

    由 p(1) = 1 開始,推出

    p(2) = 1/4 - 1/4 p(1) = 1/4 - 1/4 (1) = 0

    p(3) = 1/4 - 1/4 p(2) = 1/4 - 1/4 (0) = 1/4

    p(4) = 1/4 - 1/4 p(3) = 1/4 - 1/4 (1/4) = 3/16

    p(5) = 1/4 - 1/4 p(4) = 1/4 - 1/4 (3/16) = 13/64

    所求的機率是

    p(6) = 1/4 - 1/4 p(5) = 1/4 - 1/4 (13/64) = 51/256。

  • 1 個月前

    最直接的應是馬可夫鏈的操作: 轉移矩陣 A 是主對角線為 0

    以外其他元素都是 1/4 的 5×5 矩陣. 而所求是 A^5 的某一主

    對角線元素.

    可以把 A 表示成 A = (1/4)(11'-I).

    其中 11'  是所有元素都是 1 的 5×5 方陣, 或說其中的 1 是一

    個元素都是 1 的 5×1 矩陣(行向量). 而 1' 是1 的轉置. 又: I 是

    單位矩陣.

    所以,   A^5 = [(1/4)(11'-I)]^5 = (1/4^5)(11'-I)^5.

    (11')^2 = 11'11' = 1(1'1)1' = 511'

    ∴ (11'-I)^2 = 11'11' - 11' - 11' + I = 3(11')+I

       (11'-I)^4 = [3(11')+I]^2 = 51(11')+I

       (11'-I)^5 = [51(11')+I](11'-I) =  205(11')-I

    所以, 主對角線元素是 

      (205-1)/4^5  = 204/4^5 = 51/256.

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