謙謙 發問時間: 科學數學 · 3 星期前

設集合 A = {1, 2, 3, · · · , 102} 共 102 個數,B、C 為另 2 個集合,滿足 B ∪ C = A, 則這樣的 (B, C) 共有幾組?

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  • 3 星期前
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    若 B, C 允許空集合, 且 B, C 有區分, 這等於 102 個 

    元素每一個有3種選擇: 只在 B, 只在 C 或, 同時B,C.

    故總方法數有 3^102. 

    若限制 B, C 非空, 則去掉兩種情形(B=A, C=φ; 與

    B=φ, C=A), 即 B, C 之組合有 3^102-2 種. 

    若 B, C 不區分, 則除 B=C=A 一種外, 組合數減半, 

    故依 B, C 是否限制非空, 分別得得:

    無限制時:  (3^102-1)/2+1 = (3^102+1)/2,

    有限制時:  (3^102-3)/2+1 = (3^102-1)/2

    [另解]

    首先, n 元素集合分為2互斥非空集的方法數, 

    若區分 B 與 C, 則有 C(n,1)+...+C(n,n-1) = 2^n-2 種;

    若不區分 B 與 C, 則方法數為其半, 即 2^(n-1)-1.

    若 B, C 不限制非空, 則區分與不區分 B, C 之方法數

    分別是 2^n 與 2^(n-1).

    設 B, C 交集非空, 則 B∩C 有 k 元素之選擇有

    C(n,k), 而 A 中其餘 n-k 元素再按上述互斥分法.

    故: 限制 B, C 非空, 且不區分 B, C 時方法數是

      [2^(n-1)-1] + Σ{k=1~n-1} C(n,k)2^(n-k-1) + 1

              = Σ{k=0~n-1}C(n,k)2^(n-k-1) = (3^n-1)/2

    若區分 B, C, 則因 B=C=A 一種不能重複算, 故

    方法數為 3^n - 2.

    若 B, C 允許空集, 則依是否區分 B, C, 方法數

    分別是

    區分B,C:   3^n-2 + 2 = 3^n 

    不區分:     (3^n-1)/2 + 1 = (3^n+1)/2.

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