謙謙 發問時間: 科學數學 · 1 個月前

點 P 到一單位圓圓心距離為 3,P 到該單位圓內接正三角形三頂點距離分別為 a、b、c,則 a^2 + b^2 + c^2 為一定數,此定數為何?

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  • 1 個月前
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    假設 "a^2 + b^2 + c^2 為一定數" 為真.

    (用複數運算不難驗證得此敘述為真, 

      且定值為 3(OP)^2 + 3.)

    設 O 為圓心, 三角形頂點為 A, B, C.

    P 在 OA 線段之延長線上.

    則 AP = OP - OA = 3-1 = 2.

    設 A 至 BC 邊之垂足為 D.

    則 OD = 1/2, BD = CD = √3/2,

    PD = OP + OD = 7/2,

    PB = PC = √(PD^2+BD^2) = √13

    ∴ (PA)^2 + (PB)^2 + (PC)^2 

        = a^2 + b^2 + c^2

        = 2^2 +2(13) = 30

    考慮一正 n 邊形之外接圓圓心 O, 半徑 r.

    P 點與 O 點距離 p.

    則 P 點至正 n 邊形各頂點距離平方和為定數

    n(p^2+r^2)

    把整個圖放到複數平面, O 為原點, P 是複數平面

    上某個複數 z, |z| = p. 正 n 邊形是某個複數的

    n 個 n 次方根在複數平面上表示的點為頂點所構成

    的凸 n 邊形. 各頂點是 w_k, k=0,1,...,n-1.

    用 w* 代表複數 w 的共軛, 則所求為

    Σ{k=0~n-1} |z-w_k|^2

        = Σ{k=0~n-1} (z-w_k)(z-w_k)*

        = Σ{k=0~n-1} (z-w_k)(z*-w_k*)

        = Σ (z z* - w_k z* - z w_k* + w_k w_k*)

        = Σ (|z|^2 - z* w_k - z w_k* +|w_k|^2)

        = n |z|^2 + Σ|w_k|^2 - z*Σw_k - z(Σw_k)*

    因 Σ{k=0~n-1} w_k = 0, |w_k| = r, |z| = p,

    故得

    Σ{k=0~n-1} |z-w_k|^2 = n p^2 + n r^2

        = n(p^2+r^2)

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