謙謙 發問時間: 科學數學 · 2 個月前

平面上 P 點滿足到正三角形三頂點的距離為 3, 5, 7 ,求正三角形的面積?

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  • 2 個月前
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    以下用解析幾何來解.

    把正三角形三個頂點分別放在座標平面之

     (a,0), (-a,0) 及 (0,a√3).

    此正三角形邊長為 2a, 面積 a^2√3.

    P 點座標 (x,y). 則; 不失一般性, 

    x^2 + (y-a√3)^2 = 3^2 = 9,

    (x-a)^2 + y^2 = 5^2 = 25,

    (x+a)^2 + y^2 = 7^2 = 49.

    故:

    (x+a)^2 - (x-a)^2 = 49-25 = 24

    即: (2x)(2a) = 24, 或 ax = 6, 或 x = 6/a.

    又, 由前兩個式子相減, 得

    -2ax +a^2 + 2√3 ay -3a^2 = 16

    ∴ y = (16+2ax+2a^2)/(2√3 a)

          = (14+a^2)/(√3 a)

          = a/√3 +14/(√3 a)

    將以 a 表示的 x, y 值代入第一個方程式):

    (6/a)^2 + [a/√3+14/(√3a) -√3 a]^2 = 9

    解之, 得

        a^2 = (83±45)/8 =  19/4 or 16

    取 a 之正根, 即 a = √19/2 或 4.

    ∴ 此正三角形面積為 (19/4)√3 或 16√3.

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