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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 個月前

令 f(x) 在包含 x = a 的某一開區間上有定義。 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱為 f(x)在 x 趨近於 a 時的極限為 L, 記為 limx→a     我想問則稱為前面那一串是甚麼意思?

1 個解答

評分
  • 1 個月前

    這是關於函數極限的定義.

    首先, 定義裡限制 fx) 必須  

          "在包含 x = a 的某一開區間上有定義."

    不過, 這其實並不全然是這樣的, 在更廣義的討論

    (更進階的課程) 中並不要求在整個包含 a 點的區

    間上有定義, 而只要求 a 是 f(x) 定義域的一個 "聚

    集點". 在初等課程中則是說

        "在包含 x = a 的某一開區間上, 除了 a 點本

         身以外, 都有定義."

    也就是說: 在討論極限時 f(a) 可以不存在, 討論函

    數的連續性時才要求 f(a) 必須有定義(存在).

    其次, 談到極限. x→a 時 f(x) 有極限 L 的意思是:

        我們能看到 f(x) 無限地接近 L (也可以等於 L), 

        只要 x 與 a 夠接近, 但 x≠a.

    甚麼叫 "f(x) 無限地接近 L"? 用比較精確的數學說

    法就是:

        給定任意 ε > 0, 都能讓 |f(x)-L| < ε.

    當然, "f(x) 接近 L" 是有條件的, 那就是:

        "x 夠接近 a, 但又要 x≠a"

    而這句話用數學語句來描述就是:

        存在 δ > 0, 0 < |x-a| < δ 就表示 x 夠接近 a, 

        但又要 x≠a.

    但說 "f(x) 有極限 L" 的意思並不是找到 δ > 0 又

    找到 x 滿足 0 < |x-a| < δ 並且使  |f(x)-L| < ε 就

    可以的, 而是要求:

        在 0 < |x-a| < δ 的範圍內, 都得到  |f(x)-L| < ε

        的結果.

    這就是 "只要 x 與 a 夠接近..." 的意思.

    所以, 整個

        x→a 時 f(x) 有極限 L 的意思是:

        我們能看到 f(x) 無限地接近 L (也可以等於 L),

        只要 x 與 a 夠接近, 但 x≠a.

    用數學語言來描述, 就是:

        若對任意 ε > 0, 都能找到 δ > 0, 使得

        只要x 滿足 0 < |x-a| < δ, 就得到 |f(x)-L| < ε,

        則稱 x→a 時 f(x)→L, 或記為

          lim f(x) = L.

        x→a

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