紅耀 發問時間: 科學數學 · 2 個月前

請教一些國中數學🙏(目前國三)?

Attachment image

1 個解答

評分
  • 匿名使用者
    1 個月前

    問題:

    ΔABC 中,∠A = 90°,AB = 3、AC = 4、BC = 5,由頂點 A 分別向 ∠B 和 ∠C 的角平分線弔垂線,垂線分別為 A₁ 和 A₂。同理,定義 B₁、B₂ 和 C₁、C₂。則 A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = ?

    🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘

    解答:

    記內心為 I。

    另記 C₁C₂ 與 BC、AC 的交點分別為 X 及 Y,

       B₁B₂ 與 AB 的交點為 Z。

    第一部分: A₂A₁ // BC、C₂C₁ // AB 及 B₂B₁ // CA

    ∵ ∠BB₁C = ∠BAC = ∠BC₂C = 90°、

       ∠IA₁A + ∠IA₂A = ∠IB₁A + ∠IB₂A = ∠IC₁A + ∠IC₂A = 180°

    故 B、B₁、A、C₂、C 五點共圓 ...... ( 同弓形內的圓周角的逆定理 )

    且 IA₁AA₂、IB₁BB₂ 及 IC₁CC₂ 為圓內接四邊形 ...... ( 對角互補 )

    ∠B₁BI = ∠ABC/2 + ∠ABB₁

              = ∠ABC/2 + ∠ACB₁ ...... ( 同弓形內的圓周角 )

              = (∠ABC + ∠BCA)/2

              = (180° - ∠CAB)/2 ...... ( 三角形內角和 )

              = (180° - 90°)/2

              = 45°

    由此,∠B₁IB = ∠C₂IC = ∠C₂CI = 45°。

    ∠IBC = ∠IBA

             = 45° - ∠ABB₁

             = 45° - ∠BAA₂ ...... ( 錯角,BB₁ // A₂A )

             = ∠IAA₂

             = ∠IA₁A₂ ...... ( 同弓形內的圓周角 )

    ∴ A₂A₁ // BC ...... ( 錯角相等 )

    ∠IC₁C₂ = ∠ICC₂ ...... ( 同弓形內的圓周角 )

                = 45°

                = ∠IAB

    ∴ C₂C₁ // AB ...... ( 錯角相等 )

    相似地,B₂B₁ // CA。

     

    第二部分:證 X、Y、Z 分別為 BC、CA、AB 的中點

    ∠YC₁A = ∠BAC₁ ...... ( 錯角,C₂C₁ // AB )

                = ∠YAC₁

    ∴ YC₁ = YA ...... ( 等角對邊相等 )

    ∠YCC₁ = 90° - ∠CAC₁ ...... ( 三角形內角和 )

                = 90° - ∠YC₁A ...... ( 已證 )

                = ∠YC₁C

    ∴ YC = YC₁ ...... ( 等角對邊相等 )

    故 Y 為 CA 的中點。

    相似地,Z 為 AB 的中點。

    ∵ C₂C₁ // AB 且 CY = YA

    ∴ CX = XB ...... ( 截線定理 )

    即 X 為 BC 的中點。

    第三部分:證 XC₁ = XB₂、YA₁ = YC₂ 及 ZA₂ = ZB₁

    ∠AYC₂ = ∠YAB

             = 90° ...... ( 錯角,C₂C₁ // AB )

             = ∠C₂A₁A

    ∴ AA₁YC₂ 為圓內接四邊形 ...... ( 同弓形內的圓周角的逆定理 )

    ∠YA₁C₂ = ∠YAC₂ ...... ( 同弓形內的圓周角 )

                 = ∠CBC₂ ...... ( 同弓形內的圓周角 )

                 = ∠ABC₂

                 = ∠YC₂A₁ ...... ( 錯角,C₂C₁ // AB )

    ∴ YA₁ = YC₂ ...... ( 等角對邊相等 ) 

    相似地,ZA₂ = ZB₁。

    ∵ ∠AA₂C = 90°

    ∴ AYC 為直徑且 Y 為圓心 ...... ( 半圓上的圓周角的逆定理 )

    ∠A₂CY = ∠A₂CB

                = ∠CA₂A₁ ...... ( 錯角,BC // A₂A₁ )

    故 YA₁A₂ 必需為直線。

    相似地,ZA₂A₁ 亦為直線。

    由於 BZ = ZA 且 BX = XC,故 XZ // CA。 ...... ( 中點定理 )

    因 XZ // CA // B₂B₁ 且 Z 為共點,故 XB₂B₁ 為直線。 

    ∠XC₁B₂ = ∠ZAB₂ ...... ( 錯角,C₂C₁ // AB )

                 = ∠ZB₂A ...... ( 等腰三角形底角 )

                 = ∠XB₂C₁ ...... ( 對頂角 )

    ∴ XC₁ = XB₂ ...... ( 等角對邊相等 )

    第四部分:A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂

     A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ 

    = XY + YZ + ZX

    = (AB + BC + CA)/2 ...... ( 中點定理 )

    = (3 + 4 + 5)/2

    = 6

    🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘

    註:

    對於任意 ΔABC,A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ 必等於 (AB + BC + CA)/2。

    但由於第一部份直接使用了 ∠A = 90°,故上方的證法不適用於任意 ΔABC。

    而對於任意 ΔABC,該證法通常是利用角平分線的性質,而且更為方便。

    Attachment image
還有問題?馬上發問,尋求解答。