ansley 發問時間: 科學數學 · 2 個月前

這個數學題目怎麼解?

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    (1)

    由 D 向 AB 邊、AC邊分別作垂線, 各得垂足 P, Q.

    則 ∠PDQ = 120°, DP = DQ.

    WLOG, 設 AE < AP, 則 AF > AQ, ∠EDP = ∠FDQ.

    由 ASA 得 △EDP 全等於 △FDQ,

    所以 PE = EQ,

    ∴ AE + AF = AP + AQ (定值).

    (2)

    連 AD.

    作 ∠ADP = ∠BAD = 30° 交 AB 邊於 P,

    作 ∠ADQ = ∠CAD = 30° 交 AC 邊於 Q.

    ∠ADE + ∠ADF = 60° 則 ∠AED + ∠AFD = 240°.

    但 ∠AED 及 ∠AFD 都在 150° 之下,

    故它們也都在 90° 之上.

    仍WLOG設 AE < AP, 所以 AF > AQ.

    在 AB 邊取 AG = AF.

    ∠GDP = ∠FDQ = ∠EDP

    注意 ∠AED > ∠APD = 120° > ∠APG > 90°.

    可證得 EP > PG = QF (參見底下關於三角形角平分線性質)

    ∴ AE + AF = (AP-EP) + (AQ+QF) < AP+AQ

    ∴ AE + AF 最大值為 AP+AQ;

    最小值發生在 ∠AED 與 ∠AFD 一為 90°, 另一為 150°.

    在正三角形邊長是 2 的假設下, AP = 1,

    ∴ AP + AQ = 2.

    若 ∠AED ≒ 90°, ∠AFD ≒ 150°, 即

    AE ≒ 3/2, AF ≒ 0.

    在考慮 ∠AED 與 ∠AFD 時它們不能達到 90° 與 150°,

    因為彼時假設 AED 3點, AFD 3點分別構成三角形.

    但考慮 AB邊之動點 E 及 AC 邊之動點 F 時可以讓

    E 或 F 點與 A 點重合. 也就是說 AE + AF 之最小值

    3/2 是可以達到的. 

    ∴ 3/2 ≦ AE + AF ≦ 2. 

    補個三角形角平分線性質證明.

     (符號與上面無關)

    設三角形 ABC 其中 ∠B 為鈍角,

    AD 為 ∠A 之平分線交 BC 邊於 D.

    則 CD >: BD.

    [證]

    在 AC 邊取 AE = AB, 連 DE.

    則 △AED 與 △ABD 全等.

    ∠CED = ∠EDA + ∠EAD

    ∠C = ∠BDA - ∠EAD = ∠EDA - ∠EAD

    ∴ ∠C < ∠CED

    △CED 大角對大邊,

    ∴ CD > ED = BD.

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