雁翎 發問時間: 科學數學 · 5 個月前

最近要微(危)積(機)分期中了!!!請求各路好手解惑?

題目如下,要找出它的local mini

mum and maximum,但是它的local maximum不存在,想請教一下是為甚麼?我算出來它落在x=0,f(x)=3,x=2 𝝅,f(x)=3,這兩個地方,是因為落在邊界的關係導致不成立嗎還是?還想知道local minimum and maximum什麼時候不存在。

請求大神們解答QQ希望微積分不會變成危機分,就拜託大家了!!!

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  • 5 個月前
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    f(θ) = 2cos(θ) + cos^2(θ),  0 ≦ θ ≦ 2π

    f'(x) = -2sin(x) + 2cos(x)(-sin(x))

           = -2sin(x)(1+cos(x))

    ∵ 1 + cos(x) ≧ 0 for all x

    ∴ f'(x) ≧ 0 if and only if sin(x) ≦ 0

           if and only if π ≦ x ≦ 2π

    ∴ f(x) 在 [π,2π] 上升 ( 而在 [0,π] 下降. )

       因此, f(x) 在 x = π 有 local minimum.

       而 maxium 發生在端點, 但沒有 local maximum.

       (Local maximum/minimum 都限定在定義域的內點.)

    從 critical point 著手:

    f'(x) = 0  if and only if sin(x) = 0 或 cos(x) = -1.

    sin(x) = 0 發生在 x = 0, π, 2π;

    cos(x) = -1 發生在 x = π.

    0, 2π 是端點, 不論. 唯一的臨界點在 x = π.

    f'(x) 在 π 左邊鄰近, sin(x) > 0, cos(x) > -1,

    故 f'(x) < 0. 在 π 右邊臨近, f'(x) > 0.

    由第一階導數測驗, 知在這唯一的臨界點,

    f(x) 達 local minimum. 

    因為是唯一的臨界點, 所以 local minimum

    就是 absolute minimum.

    也可由考慮第二階導數來驗證 x = π 時 f(x)

    是 local minimum:

    f"(x) = -2cos(x) -2(cos^2(x)-sin^2(x))

    ∴ f"(π) = 2 > 0

    故 f(θ) 在 θ=π 得 local minimum.

    這函數沒有 local maximum, 是因局部極值定義

    被限制在函數定義域內點. 如果不排除端點, 端

    點本身當然是局部極值所在, 而在本例它們也是

    local maximum 所在. 同時, 在本例, 兩個端點的

    單邊導數也都是 0. 

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