阿平
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阿平 發問時間: 科學數學 · 1 個月前

Ridders' method的推導過程?

g(x)=f(x)e^((x-x1)Q)

f(x):曲線

g(x):直線

1.為什麼曲線f(x)乘以e^((x-x1)Q)會變成直線g(x)?

2.x4=x3-g3(x3-x1)/(g3-g1)怎麼推導到x4=x3±(x3-x1)f3/(f3^2-f1f2)^(1/2)

Numerical Methods in Engineering with Python

https://books.google.com/books?id=9SG1r8EJawIC&pg=...

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  • 1 個月前
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    Ridder's method 並沒有要求 g(x)=f(x)e^((x-x1)Q) 必須變成

    直線函數, 只是要求 g(x_3) 與 g(x_1), g(x_2) 共線, 其中 x_3

    是 x_1 與 x_2 的中點.

    Ridder's method 先將 f(x) 轉換成 g(x), 藉由

        f(x) = 0 if and only if g(x) = 0

    將解方程式 f(x) = 0 的問題變成解 g(x) = 0.

    與 Ridder's method 相關的有二分法與割線法. 二分法先取二點 

    x_1, x_2 使 f(x_1)f(x_2) < 0, 然後取中點 x_3= (x_1+x_2)/2 

    來縮小根所在範圍. 割線法則是在 x_1 與 x_2 之間用一直線近似 

    f(x). 設

        y_1= f(x_1), y_2= f(x_2), 

    則 f(x)=0 之直線近似解 x_4, 依直線插補原理:

         (0 - y_1)/(x_4 - x_1) = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

        x_4 = x_1 - (x_2-x_1)y_1/(y_2-y_1)

               = (x_1 y_2 - x_2 y_1)/(y_2 - y_1)

               = x_2 - (x_2-x_1)y_2/(y_2-y_1)

    令 g_1 = g(x_1), g_3 = g(x_3). 將上述割線法之 x_4 算法代

    入, 得

        x_4 = x_3 - g_3(x_3-x_1)/(g_3-g_1)

    但記得 g_3 要滿足 g_3 = (g_1+g_2)/2, 也就是

        y_3 e^[Q(x_2-x_1)/2] = {y_1 + y_2 e^[Q(x_2-x_1)]}/2

    令 t = e^[Q(x_2-x_1)/2], 則 e^[Q(x_2-x_1)] = t^2, 上列條

    件即

        y_1 - 2y_3 t + y_2 t^2 = 0

    解 t 得

        t = {2y_3 ±√[(2y_3)^2 - 4y_1 y_2]}/(2 y_2)

          = {y_3 ±√[(y_3)^2-y_1 y_2]}/y_2

    注意 t > 0, 因此上式雖有 "±" 二解, 實際上 t 可能無(實)解, 

    二 解, 或恰一 (正) 解. 

    將上列 t 之解代入 x_4 公式:

        x_4 = x_3 - y_3 t (x_3-x_1)/(y_3 t - y_1)

    注意

       y_3 t/(y_3 t - y_1) 

        = (y_3 t y_2)/(y_3 t y_2 - y_1 y_2)

                  y_3{y_3±√[(y_3)^2-y_1y_2]}

        = ---------------------------------------------------------   

            {(y_3)^2±y_3√[(y_3)^2-y_1y_2] - y_1y_2}

        = y_3/{±√[(y_3)^2-y_1y_2]}

    最後一式可由前一式的 "±" 分別代入 "+" 與 "-" 得知.

    所以,

        x_4 = x_3 - y_3(x_3-x_1)/{±√[(y_3)^2-y_1y_2]}

            = x_3 ± y_3(x_3-x_1)/√[(y_3)^2-y_1y_2]

    其中 "±" 視前面 t 之解應代入 "+" 或 "-" 決定. 用原問之

    符號, 即是

        x4 = x3 ± (x3-x1)f3/√(f3^2-f1 f2])

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