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匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 1 個月前

畫這個函數圖形判斷步驟可以詳細解釋嗎?f(x)=2x-(3x)^2/3,怎麼彎的可都說明嗎?

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  • 1 個月前

    f(x) = 2x - (3x)^(2/3)

    (1) 定義域

    未明確指定的話, 就是自然定義域: 定義式可定義

    的地方. 本例是整個數線 R.

    (2) 截距

    f(0) = 2(0) -0^(2/3) = 0

    故其圖形通過原點.

    f(x) = 2x^(2/3)x^(1/3) - 3^(2/3)x^(2/3)

          = x^(2/3)(2x^(1/3)-3^(2/3))

    故 f(x) = 0 除 x = 0 一根外, 還有可能

        2x^(1/3) = 3^(2/3)

    即: x = 3^2/2^3 = 9/8.

    (3) 極限:

    f(x) = x(2-3^(2/3)/x^(1/3))

    當 x → ±∞ 時, 則 2-3^(2/3)/x^(1/3) → 2.

    故整個 f(x) 隨 x 趨於 ±∞.

    (註: 此處 f(x) 圖形並無漸近線. 雖然

           x → ±∞ 時 f(x)/(2x) → 1, 但

                             f(x) - 2x 並不趨近某常數.)

    (4) 增減(升降)、極值

    f'(x) = 2 - (2/3)(3x)^(-1/3)(3) = 2 - 2(3x)^(-1/3),

                                                                      x ≠ 0

    故 

    f'(x) = 0  <==>  2 = 2(3x)^(-1/3)  <==> x = 1/3.

    且: 

    0< x < 1/3 則 (3x)^(-1/3) > 1, 故 f'(x) < 0;

    x > 1/3 則 (3x)^(-1/3) < 0, 故 f'(x) > 0

    所以 f(1/3) = 2(1/3)-(3.1/3)^(2/3) = -1/3 是 

    f(x) 的一個相對極小.

    f(x) 還有一個臨界點 x = 0, 因 f(x) 在此點不可微.

    而 x < 0 則 f'(x) > 0; 0 < x < 1/3 時 f'(x) < 0. 故

    f(0) = 0 是 f(x) 的一個相對極大.

    因 f(x) 上、下方皆無界, 所以並不存在絕對極值.

    (5) 凹向 (彎曲方向):

    當 x ≠ 0 時,

        f"(x) = 0 - 2(-1/3)(3x)^(-4/3)(3) 

               = 2(3x)^(-4/3)  > 0

    故曲線在 x < 0 及 x > 0 兩部分都是凹面向上的.

    (注意我們不能說曲線在整個 R 是凹面向上的.)

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