真真 發問時間: 科學數學 · 2 個月前

若x²+5x+16被169整除,證明 x不是整數?

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    因 169 = 13^2,

    故 x^2+5x+16 是 169 的倍數首先必須是 13 的倍數.

    令 f(x) = x^2 + 5x + 16.

    設 x = n+13k, k, n 皆整數. 則

        f(x) = f(n) + 13(2n+5)k + 169k^2

    故:

    (1) f(n+13k) 是 13 的倍數

        若且唯若 f(n) 是 13 的倍數.

    (2) 若 f(n) 是 169 的倍數, 除非 k 是 13 的倍數

        或 n = 4, 否則 f(n+13k) 不是 169 的倍數.

        但 k 是 13 的倍數或 n = 4 時, f(n) 與

        f(n+13k) 同時是或不是 169 的倍數.

    取 n = 0, 1,..., 12, 唯有 n = 4 得 f(n) = 52

    是 13 的倍數但非 169 的倍數. 由上面的結果可知:

    若 x 是整數, 則 f(x) = x^2 + 5x + 16

    (1) 只有 f(4+13k), k 整數, 是 13 的倍數;

    (2) 沒有整數 x 使 f(x) 是 169 的倍數.

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