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匿名使用者
匿名使用者 發問時間: 科學數學 · 2 星期前

急 求此題數學題目?

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4 個解答

評分
  • 匿名使用者
    2 星期前

    Question:

    Use ANY method to evaluate the integral.

    ∫ 8 dw / [w²√(4 - w²)] = ?

    🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘🔘

    Solution:

    ∫ 8 dw / [w²√(4 - w²)]

    Trigonometric substitution

    Let w = 2 sinθ, dw = 2 cosθ dθ.

    = ∫ 8( 2 cosθ dθ )/[4 sin²θ √(4 - 4sin²θ)]

    = ∫ 16 cosθ dθ / (8 sin²θ cosθ)

    = 2 ∫ csc²θ dθ

    = -2 cotθ + C, where C is a constant.

    = -2 cot[sin⁻¹(w/2)] + C

    [ = -2√(4 - w²)/w  + C ]

    Other method

    = ∫ [2w² + 2(4 - w²)] dw / [w²√(4 - w²)]

    = ∫ [2w²/√(4 - w²) + 2√(4 - w²)]/w² dw 

    = ∫ { d[-2√(4 - w²)/w]/dw } dw

    = -2√(4 - w²)/w + C

  • 2 星期前

    使用三角函數代換的方法: w = 2sin(x). 則

      ∫8dw/[w^2√(4-w^2)]

        = ∫16cos(x)dx/[4sin^2(x)2cos(x)]

        = ∫2dx/sin^2(x)

        = -2cot(x) + C

        = -2√(4-w^2)/w + C

    另法;

      1/[w^2√(4-w^2)] = A√(4-w^2)/w^2 + B/√(4-w^2)

        = [A(4-w^2)+Bw^2]/[w^2√(4-w^2)]

    故, 可假設

        A(4-w^2)+Bw^2 ≡ 1

    即 B = A = 1/4.

    所以,

      ∫8/[w^2√(4-w^2)] dw

        = ∫2√(4-w^2)/w^2 dw + ∫2/√(4-w^2) dw ... (1)

    其中, 因

      d/dw √(4-w^2) = -w/√(4-w^2)

      ∫2/√(4-w^2) dw

        = ∫2(1/w)[w/√(4-w^2)] dw

        = -2(1/w)√(4-w^2) + ∫2(-1/w^2)√(4-w^2) dw

        = -2√(4-w^2)/w - ∫2√(4-w^2)/w^2 dw .......(2)

    把 (2) 代入 (1), 兩不定積分一正一負抵消,

    留下積分常數, 得:

      ∫8/[w^2√(4-w^2)] dw = -2√(4-w^2)/w + C

  • 2 星期前

    這題簡單跳過!!!!!!!!!!!!!!!!

  • 匿名使用者
    4 天前

    功課自己寫喔不用客氣但你要客氣也可以

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